滤波器总结

滤波器的表征

• 差分方程：${\displaystyle y(n)=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x(n-k)-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y(n-k)}$$\displaystyle y(n)=\sum_{k=0}^M b_k x(n-k)-\sum_{k=1}^N a_k y(n-k)$.

• 系统函数：

  $$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle H(z)=\frac{\sum _{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}{1+\sum _{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}}& \text{有}\text{递}\text{归}\text{结}\text{构},\mathrm{IIR}\\ H(z)=\sum _{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}& \text{无}\text{递}\text{归}\text{结}\text{构},\mathrm{FIR}\end{array}$$

  IIR 有零点和极点，FIR 只有零点。

• 实现方式：加、乘、延时单元。

1. 滤波器结构

我们研究不同结构在下列指标上的表现：

• 计算复杂性：指乘法、加法、延时次数；

• 存储量；

• 运算误差（量化误差）。

• 频率响应调节的方便程度（调节零点和极点）

1.1 IIR 滤波器结构

全极点型/零极点型。

• 直接 I 型，需要 $N+M$$N+M$ 个延时单元。

  

• 直接 II 型（典范型），需要 $N$$N$ 个延时单元。

  

  • 延迟单元最少；

  • 系数对滤波器的极点和零点的控制作用不明显，因而调整频率响应比较困难；

  • 乘法运算的量化误差较大。

• 级联型结构，分解为一阶、二阶基本节，注意提取常数 $G$$G$.

  $$H(z)=G\prod _k{H}_k(z)$$
  $$\begin{array}{c}{H}_k(z)=\frac{1+{\beta }_{1k}{z}^{-1}}{1+{\alpha }_{1k}{z}^{-1}}\\ H_k(z)=\frac{1+{\beta }_{1k}{z}^{-1}+{\beta }_{2k}{z}^{-2}}{1+{\alpha }_{1k}{z}^{-1}+{\alpha }_{2k}{z}^{-2}}\end{array}$$

  

  • 调整零、极点方便直观；

  • 对系数量化的敏感度比直接型结构低；

  • 量化误差、运算误差逐级累计。

• 并联型结构，使用分式展开，展开为

  $$H(z)=\sum _{k=1}^K{H}_k(z)+\sum _{k=0}^{M-N}{C}_k{z}^{-k}$$
  $$H_k(z)=\frac{B_{0k}+B_{1k}{z}^{-1}}{1+A_{1k}{z}^{-1}+A_{2k}{z}^{-2}}$$

  

  • 调整极点方便，但是调整零点不方便；

  • 对系数量化误差的敏感度低；

  • 量化误差不会累计；

• 转置型结构，所有支路方向翻转，但支路增益不变，输入输出交换位置。

  

  证明：

  $$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum _{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}{1+\sum _{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}$$

  $$\frac{X(z)}{Y(z)}=\frac{1+\sum _{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}{\sum _{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}$$

1.2 FIR 滤波器结构

• 直接型(横截型、卷积型)结构 系统参数是单位冲激响应序列。

  $$\begin{array}{rl}y(n)& =\sum _{k=0}^M{b}_{k}x(n-k)\\ & =\sum _{m=0}^{N-1}\underset{h(m)}{\underbrace{b_m}}x(n-m)\end{array}$$

  

• 级联型结构

  $$H(z)=\sum _{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}=\prod _{k=1}^k({\beta }_{0k}+{\beta }_{1k}{z}^{-1}+{\beta }_{2k}{z}^{-2})$$

  

• 频率抽样型结构

  $$H(z)=\frac{1-z^{-N}}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\frac{H(e^{j\frac{2\pi }{N}k})}{1-e^{j\frac{2\pi }{N}k}{z}^{-1}}$$

  可以看成一个 FIR 系统级联一个 $N$$N$ 个 IIR 子网络并联形成的 IIR 系统。

  

• 快速卷积结构 是直接型结构的快速型实现。

  

• 线性相位 FIR 滤波器结构

  分奇偶对称性讨论，当单位抽样响应 $h(n),0\le n\le N-1$$h(n),0\le n\le N-1$ 为实数且满足

  • 偶对称性：$h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$$h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 或者；

  • 奇对称性：$h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$$h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$.

  则系统频率响应是严格线性的。线性相位条件：$\arg [H(e^{j\omega })]=\alpha \omega$$\arg [H(e^{j\omega})]=\alpha \omega$. 相位函数：$H(\omega )=\alpha \omega +{\omega }_0$$H(\omega)=\alpha\omega+\omega_0$.

  分长度 $N$$N$ 奇偶性讨论， 具有不同的实现方式，可以减少一半乘法次数。

  

  

1.3 数字滤波器频率响应

当输入复指数序列 $x(n)=e^{j\omega n}$$x(n)=e^{j\omega n}$，则有：

$$\begin{array}{rl}y(n)& =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(m)x(n-m)\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(m)e^{j\omega (n-m)}\\ & =e^{j\omega n}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(m)e^{-j\omega n}\\ & =e^{j\omega n}H(e^{j\omega })=x(n)H(e^{j\omega })\end{array}$$

因此称复指数序列 $e^{j\omega n}$$e^{j\omega n}$ 是系统的特征序列。

几何确定法

• 幅度响应 ${\displaystyle |H(e^{j\omega })|=|K|\frac{\prod {\rho }_m}{\prod l_k}}$$\displaystyle |H(e^{j\omega})|=|K|\frac{\prod \rho_m}{\prod l_k}$. 其中 ${\rho }_m$$\rho_m$ 为零矢，$l_k$$l_k$ 为极矢。

• 相位响应 $\arg [H(e^{j\omega })]=\arg K+\sum {\theta }_m-\sum {\varphi }_k+(N-M)\omega$$\arg [H(e^{j\omega})]=\arg K+\sum \theta_m-\sum\phi_k +(N-M)\omega$.

群延迟响应

1.4 全通滤波器

全通滤波器的定义：系统频率响应的幅度在所有的频率 $\omega$$\omega$ 处皆为 1（或为常数）的稳定系统。

1 阶全通滤波器（要求 $a$$a$ 为实数，且极点 $z=a$$z=a$ 在单位圆内）

2 阶全通滤波器（要求极点 $a,a^{\ast }$$a,a^*$ 在单位圆内，即 $a=r{e}^{j\theta },0<r<1$$a=re^{j\theta},0<r<1$）

$N$$N$ 阶全通滤波器：

零极点分布特点：

• 为了保证滤波器稳定，极点在单位圆内，零点在单位圆外；

• 以单位圆镜像分布，即极点 $a$$a$ 推出零点 $(a^{\ast }{)}^{-1}$$(a^*)^{-1}$.

系数特点：

• 各系数均为实数（为了满足 $d_k=d_k^{\ast }$$d_k=d_k^*$ 即共轭对称关系）；

• 分子、分母各系数相同但排序相反。

相频特性：

因为 ${\beta }_{ap}(0)=0$$\beta_{ap}(0)=0$，结合上述结论可得 ${\beta }_{ap}(\omega )<0,0\le \omega \le \pi$$\beta_{ap}(\omega)<0,0\le \omega \le \pi$.

同时可得全通系统的群延迟 ${\displaystyle {\tau }_{ap}(\omega )=-\frac{\mathrm{d}{\beta }_{ap}(\omega )}{\mathrm{d}\omega }}$$\displaystyle \tau_{ap}(\omega)=-\frac{\mathrm d \beta_{ap}(\omega)}{\mathrm d \omega}$ 为正。

1.5 最小相位系统

看零点来辨别。如果系统有极点在单位圆外，则不是三种系统。

为了保证稳定，最小相位系统、最大相位系统、混合相位系统的极点都在单位圆内。

最小相位系统 ${\mathit{H}}_{\mathbf{min}}\mathbf{(}\mathit{z}\mathbf{)}$$\boldsymbol{H_{\min}(z)}$ 系统函数全部零点在单位圆内的因果稳定滤波器；最小相位系统的逆系统也是最小相位系统，因为只是调换了零点极点。

最大相位系统 ${\mathit{H}}_{\mathbf{max}}\mathbf{(}\mathit{z}\mathbf{)}$$\boldsymbol{H_{\max}(z)}$ 系统函数全部零点在单位圆外的因果稳定滤波器；

混合相位系统 ${\mathit{H}}_{\mathbf{mix}}\mathbf{(}\mathit{z}\mathbf{)}$$\boldsymbol{H_{\operatorname{mix}}(z)}$ 系统函数在单位圆内外均有零点的因果稳定滤波器；

三种系统的关系：通过串联全通系统转换。

这一系列的最小相位系统、混合相位系统、最大相位系统的幅值响应相同，而相角响应依次滞后。

• 最小相位滞后性：因为新串联全通系统，相当于减小相位 $\beta (\omega )$$\beta(\omega)$，因此：

  $${\beta }_{min}(\omega )>{\beta }_{\mathrm{mix}}(\omega )>{\beta }_{max}(\omega )$$

• 最小群延时性：同理，

  $${\tau }_{min}(\omega )<{\tau }_{\mathrm{mix}}(\omega )<{\tau }_{max}(\omega )$$

• 最小能量延迟性：

  局部能量越大，能量延迟越小，局部能量定义为

  $$E(n_0)=\sum _{n=0}^{n_0}{h}^2(n)$$

  因为最小相位系统的延迟最小，所以局部能量最大。

  $$\sum _{n=0}^{n_0}|h_{min}(n){|}^2>\sum _{n=0}^{n_0}|h_{\mathrm{mix}}(n){|}^2>\sum _{n=0}^{n_0}|h_{max}(n){|}^2$$

  特别地，$|h_{min}(0)|>|h_{\mathrm{mix}}(0)|>|h_{max}(0)|$$|h_{\min}(0)|>|h_{\mathrm{mix}} (0)|>|h_{\max}(0)|$.

利用最小相位系统的逆系统补偿失真

对于系统 $H(z)$$H(z)$，希望其幅度响应为 1，设计 $H_c(z)$$H_c(z)$ 进行补偿。

• 当 $H(z)$$H(z)$ 是最小相位系统，

  $$H_c(z)=\frac{1}{H(z)}$$

  可以完全补偿幅度响应和相位响应。

• 当 $H(z)$$H(z)$ 不是最小相位系统，可以分解为 $H_{min}(z)H_{ap}(z)$$H_{\min}(z)H_{ap}(z)$.

  $$H_c(z)=\frac{1}{H_{min}(z)}$$

  可以完全补偿幅度响应，但是无法完全补偿相位响应。

例如将系统

$$H(z)=\frac{6(4z^{-1}-1)(z^{-1}-5)}{(z^{-1}-2)(z^{-1}-3)}$$

分解为 $H_{min}(z)H_{ap}(z)$$H_{\min}(z)H_{ap}(z)$.

其极点分别为 ${\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3}}$$\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3}$ 位于单位圆内，其零点分别为 ${\displaystyle \frac{1}{5},4}$$\displaystyle \frac{1}{5},4$，设计全通滤波器抵消零点 $z=4$$z=4$，即

$$H_{ap}(z)=\frac{4z^{-1}-1}{z^{-1}-4}$$

$$H_{min}=\frac{6(z^{-1}-4)(z^{-1}-5)}{(z^{-1}-2)(z^{-1}-3)}$$

1.6 梳状滤波器

梳状滤波器结构 (FIR)

保留需要的频率为 ${\displaystyle \frac{(2k+1)\pi }{N}}$$\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{N}$ 信号，滤除其它频率信号。

对梳状滤波器的改进：梳状陷波器 (IIR)

考虑当输入信号频率为 ${\displaystyle \frac{2\pi }{N}}$$\displaystyle \frac{2\pi}{N}$，此时和一个零点重合，输出为零。

当输入信号频率为 ${\displaystyle \frac{2\pi }{N}+\beta }$$\displaystyle\frac{2\pi}{N}+\beta$，其中 $\beta$$\beta$ 很小，则可以看成一个双 ${90}^{\circ }$$90^\circ$ 的等腰三角形，得到 $A{Z}_1{P}_1$$AZ_1P_1$ 是一个等腰直角三角形，输出幅度：

其中 $A{Z}_2\approx A{P}_2$$AZ_2\approx AP_2$，$A{Z}_1=\beta ,A{P}_1=\sqrt{2}\beta$$AZ_1=\beta,AP_1=\sqrt{2}\beta$，因此输出 $1/\sqrt{2}$$1/\sqrt{2}$. 比修正之前性能好，可以精确地滤除频率为 $2k\pi /N$$2k\pi/N$ 的信号.

2. IIR 滤波器设计

2.1 理想滤波器频谱图

2.2 滤波器指标

• ${\omega }_p$$\omega_p$：通带截止数字频率，通带内 $1-{\delta }_1\le |H(e^{j\omega })|\le 1$$1-\delta_1 \le |H(e^{j\omega})|\le 1$

• ${\omega }_{st}$$\omega_{st}$：阻带截止数字频率，阻带内 $|H(e^{j\omega })|\le {\delta }_2$$|H(e^{j\omega})|\le \delta_2$.

• $R_p$$R_p$：通带允许的最大衰减 $=-20\lg (1-{\delta }_1)$$=-20\lg (1-\delta_1)$

• $A_{st}$$A_{st}$：阻带允许的最小衰减 $=-20\lg ({\delta }_2)$$=-20\lg(\delta_2)$

2.3 模拟巴特沃斯低通滤波器

• $N$$N$：滤波器阶数；

• ${\mathrm{\Omega }}_c$$\Omega_c$：3dB 频率。

选取截止频率为 ${\mathrm{\Omega }}_c=0.5\pi$$\Omega_c=0.5\pi$，绘图如下：

• $\mathrm{\Omega }=0$$\Omega=0$ 时，$|H_a(j0)|=1$$|H_a(j0)|=1$ 无衰减

• $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_c$$\Omega=\Omega_c$ 时，$|H_a(j{\mathrm{\Omega }}_c)|=1/\sqrt{2}$$|H_a(j\Omega_c)|=1/\sqrt{2}$，对应 $R_c=3\mathrm{dB}$$R_c=3\mathrm{~dB}$ 通带最大衰减。因为对于不同的 $N$$N$，$R_c$$R_c$ 不变，因此有 3dB 不变性。

• 通带 $0\le \mathrm{\Omega }\le {\mathrm{\Omega }}_c$$0\le \Omega \le \Omega_c$ 内，最平幅度特性。因为 $|H_a(j{\mathrm{\Omega }}_c){|}^2$$|H_a(j\Omega_c)|^2$ 在 $\mathrm{\Omega }=0$$\Omega=0$ 处的前 $2N-1$$2N-1$ 阶导数为零。

归一化的巴特沃斯滤波器

一般可以通过查表法来获取归一化巴特沃斯滤波器的系统函数，然后 去归一化：

$\mathit{N}\mathbf{,}{\mathbf{\Omega }}_{\mathit{c}}$$\boldsymbol{N,\Omega_c}$ 参数设计

首先，根据图像定性分析：

• $N$$N$ 越大，滤波器越接近理想滤波器；但是 $N$$N$ 越大，滤波器越难以实现；

• 因此，我们需要首先找出最小符合要求的 $N$$N$，然后根据 $N$$N$ 来选择 ${\mathrm{\Omega }}_c$$\Omega_c$.

定义：

• ${\mathrm{\Omega }}_p$$\Omega_p$：通带截止频率

• ${\mathrm{\Omega }}_{st}$$\Omega_{st}$：阻带截止频率

根据图中关系，可以算出：

• $R_p\ge -20\lg |H_a(j{\mathrm{\Omega }}_p)|$$R_p\ge-20\lg |H_a(j\Omega_p)|$ 通带衰减最大值

• $A_{st}\le -20\lg |H_a(j{\mathrm{\Omega }}_{st})|$$A_{st}\le -20\lg |H_a(j\Omega_{st})|$ 阻带衰减最小值

重写表达式为：

即：

因此

为了确定 ${\mathrm{\Omega }}_c$$\Omega_c$，我们可以利用不等式：

一般取 ${\mathrm{\Omega }}_c={\mathrm{\Omega }}_{cp}$$\Omega_{c}=\Omega_{cp}$.

到这一步我们就可以 设计模拟低通滤波器，其步骤为：

1. 确定指标 ${\mathrm{\Omega }}_s,{\mathrm{\Omega }}_p,A_s,R_p$$\Omega_{s},\Omega_{p},A_s,R_p$;

2. 根据指标确定巴特沃斯滤波器参数 $N,{\mathrm{\Omega }}_c$$N,\Omega_{c}$;

3. 根据滤波器阶数确定归一化巴特沃斯滤波器的系统函数;

4. 去归一化.

2.4 频带转换

频带变换 可以将 归一化模拟低通滤波器（$\overline{{\mathrm{\Omega }}_p}=1$$\overline{\Omega_p}=1$）转换为 模拟低通、高通、带通、带阻滤波器。

频带变换的实现：设计变换函数 $G$$G$，满足：

频带变换函数 要求：

• $G$$G$ 函数是有理函数；

• 变换不能改变稳定性；需要满足纯虚数条件，映射虚轴到虚轴，即 $G(\text{虚}\text{数})=\text{虚}\text{数}$$G(虚数)=虚数$.

令带宽和中心频率表示为

• $B_p={\mathrm{\Omega }}_{p1}-{\mathrm{\Omega }}_{p2}$$B_p=\Omega_{p1}-\Omega_{p2}$，${\mathrm{\Omega }}_{p0}=\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_{p1}{\mathrm{\Omega }}_{p2}}$$\Omega_{p0}=\sqrt{\Omega_{p1}\Omega_{p2}}$.

• $B_s={\mathrm{\Omega }}_{st1}-{\mathrm{\Omega }}_{st2}$$B_{s}=\Omega_{st1}-\Omega_{st2}$，${\mathrm{\Omega }}_{st0}=\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_{st1}{\mathrm{\Omega }}_{st2}}$$\Omega_{st0}=\sqrt{\Omega_{st1}\Omega_{st2}}$.

带通滤波器 ${\stackrel{\mathbf{―}}{\mathbf{\Omega }}}_{\mathit{s}\mathit{t}}$$\boldsymbol{\overline\Omega_{st}}$ 的确定

因为带通滤波器的 ${\mathrm{\Omega }}_{p1},{\mathrm{\Omega }}_{p2}$$\Omega_{p1},\Omega_{p2}$ 均可以映射到 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_p=1$$\overline{\Omega}_p=1$，所以只需确定 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$${\overline\Omega_{st}}$ 即可。

计算对应的 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st1,2}$$\overline{\Omega}_{st1,2}$ 如下：

然后 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$$\overline{\Omega}_{st}$ 取 $min\{\left|{\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st1}\right|,\left|{\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st2}\right|\}$$\min\left\{\left|\overline{\Omega}_{st1}\right|,\left|\overline{\Omega}_{st2}\right|\right\}$.

注意点：

• 需要取绝对值，因为分别对应正的频率和负的频率；

• 当更小的阻带截止频率满足时，更大的阻带截止频率一定满足，所以取比较小的一个。

带阻滤波器 ${\stackrel{\mathbf{―}}{\mathbf{\Omega }}}_{\mathit{s}\mathit{t}}$$\boldsymbol{\overline{\Omega}_{st}}$ 的确定

频带映射函数中存在未知数 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$$\overline{\Omega}_{st}$，可以通过带阻滤波器 ${\mathrm{\Omega }}_{p1},{\mathrm{\Omega }}_{p2}$$\Omega_{p1},\Omega_{p2}$ 映射到 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_p=1$$\overline{\Omega}_p=1$ 来确定 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$$\overline{\Omega}_{st}$.

到这里我们可以 设计模拟高通/带通/带阻滤波器，步骤如下：

1. 确定模拟指标；

2. 确定归一化低通滤波器所需满足的指标 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_p,{\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$$\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$.

   高通：直接利用公式 ${\displaystyle \bar{\mathrm{\Omega }}=-\frac{{\mathrm{\Omega }}_p}{\mathrm{\Omega }}}$$\displaystyle \overline{\Omega}=-\frac{\Omega_p}{\Omega}$；带通：参上；带阻：参上.

3. 根据指标 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_p,{\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$$\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$ 确定原型巴特沃斯滤波器参数 $N,{\bar{\mathrm{\Omega }}}_c$$N,\overline \Omega_{c}$;

4. 通过查表法确定 $H_{an}(\bar{s})$$H_{an}(\overline s)$;

5. 去归一化 $H_a(\bar{s})=H_{an}(\bar{s}/\overline{{\mathrm{\Omega }}_c})$$H_a(\overline{s})=H_{an}(\overline{s}/\overline{\Omega_c})$;

6. 通过变换函数进行频带变换.

2.5 模数映射

模数映射：从 $s$$s$ 域映射到 $z$$z$ 域，牵扯到抽样时间 $T$$T$.

• 冲激不变法：单位冲激响应 $h_a(t)\Rightarrow h(n)$$h_a(t)\Rightarrow h(n)$;

• 双线性法：系统函数 $H(s)\Rightarrow H(z)$$H(s)\Rightarrow H(z)$.

映射要求：

• $s$$s$ 域虚轴映射到 $z$$z$ 域单位圆；

• $s$$s$ 域虚轴左边映射到 $z$$z$ 域单位圆内部；

• $s$$s$ 域虚轴右边映射到 $z$$z$ 域单位圆外部。

2.5.1 冲激不变法

由极点关系可以推出 $s,z$$s,z$ 关系：$z=e^{sT}$$z=e^{sT}$;

由采样的关系可以推出频率关系：$\omega =\mathrm{\Omega }T$$\omega=\Omega T$（模拟频率和数字频率是线性的关系）

• 存在 混叠失真问题，因为 $s$$s$ 平面和 $z$$z$ 平面并非一一对应，极点对应，而零点不对应。

• 模拟滤波器的频率响应带限于 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_s}{2}=\frac{\pi }{T}}$$\displaystyle \frac{\Omega_s}{2}=\frac{\pi}{T}$ 内，无混叠失真。

• 不能用于高通滤波器和带阻滤波器，因为高频段会混叠到 $[-\pi /T,\pi /T]$$[-\pi/T,\pi/T]$ 低频段。反之设计低通滤波器和带阻滤波器，需要保证 $T$$T$ 足够小，高频段混叠的影响很小。

2.5.2 双线性变换法

使用 ${\displaystyle \mathrm{\Omega }=\tan \left(\frac{{\mathrm{\Omega }}_{1}T}{2}\right)}$$\displaystyle \Omega=\tan \left(\frac{\Omega_1 T}{2}\right)$ 将整个 $\sigma +j\mathrm{\Omega }$$\sigma+j\Omega$ 平面映射到 $\sigma +j{\mathrm{\Omega }}_1$$\sigma+j\Omega_1$ 平面，其中 ${\mathrm{\Omega }}_1$$\Omega_1$ 取值 $-\pi /T,\pi /T$$-\pi/T,\pi/T$.

在低频段，有如下关系：

引入线性变换常数 $c=2/T$$c=2/T$，则有如下关系：

因为幅频响应存在畸变，数字频率和模拟频率不是线性的关系，所以需要将数字指标 $\omega$$\omega$ 变换为模拟指标 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$，才能设计滤波器。

到这里我们可以 设计数字高通/带通/带阻滤波器，步骤如下：

1. 通过 $\omega =\mathrm{\Omega }T$$\omega=\Omega T$ 确定对应的数字指标；

2. 再通过频率预畸 ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^{\prime }=\frac{2}{T}\tan \frac{\omega }{2}}$$\displaystyle \Omega'=\frac{2}{T}\tan \frac{\omega}{2}$ 变换成 低通模拟指标；

3. 确定归一化低通滤波器所需满足的指标 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_p,{\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$$\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$.

4. 根据指标 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_p,{\bar{\mathrm{\Omega }}}_{st}$$\overline{\Omega}_p,\overline{\Omega}_{st}$ 确定原型巴特沃斯滤波器参数 $N,{\bar{\mathrm{\Omega }}}_c$$N,\overline \Omega_{c}$;

5. 通过查表法确定 $H_{an}(\bar{s})$$H_{an}(\overline s)$;

6. 去归一化 $H_a(\bar{s})=H_{an}(\bar{s}/\overline{{\mathrm{\Omega }}_c})$$H_a(\overline{s})=H_{an}(\overline{s}/\overline{\Omega_c})$;

7. 通过变换函数进行频带变换.

8. 双线性变换法 ${\displaystyle H(z)=H(s){|}_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$$\displaystyle H(z)=H(s)|_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$.

2.6 模数直接变换

之前需要两步：双线性变换法+频带变换，现在可以合并成一步，直接使用模数直接变换。

模拟低通到数字低通

• 变换关系：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}},z=\frac{1+s}{1-s}}}}$$\boxed{\displaystyle s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}},z=\frac{1+s}{1-s}}$.

• 频率间关系：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Omega }=\tan \left(\omega /2\right)}}$$\boxed{\Omega=\tan\left(\omega/2\right)}$.

• 通带截止频率间关系：${\mathrm{\Omega }}_p=\tan \left({\omega }_p/2\right)$$\Omega_p=\tan\left(\omega_p/2\right)$

模拟低通到数字高通

相当于 $z\leftarrow -z$$z\gets -z$.

• 变换关系：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle s=\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}}}}$$\boxed{\displaystyle s=\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}}$.

• 频率间关系：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Omega }=\cot (\omega /2)}}$$\boxed{\Omega=\cot(\omega/2)}$.

• 截止频率关系：${\mathrm{\Omega }}_p=\cot ({\omega }_p/2)$$\Omega_p=\cot(\omega_p/2)$.

模拟低通到数字带通

中心频率设为 ${\omega }_0$$\omega_0$，希望原来 $\mathrm{\Omega }=0$$\Omega=0$ 点映射到 ${\omega }_0$$\omega_0$ 点，并且符合 ${\omega }_{p1},{\omega }_{p2}$$\omega_{p1},\omega_{p2}$ 的条件。

• 中心频率表达式：${\displaystyle \cos {\omega }_0=\frac{\sin ({\omega }_{p2}+{\omega }_{p1})}{\sin {\omega }_{p2}+\sin {\omega }_{p1}}}$$\displaystyle \cos \omega_0 =\frac{\sin (\omega_{p2}+\omega_{p1})}{\sin \omega_{p2}+\sin \omega_{p1}}$.

• 变换关系：${\displaystyle \boxed{{\displaystyle s=\frac{1-2z^{-1}\cos {\omega }_0+z^{-2}}{1-z^{-2}}}}}$$\displaystyle \boxed{s=\frac{1-2z^{-1}\cos \omega_0+z^{-2}}{1-z^{-2}}}$.

• 频率间关系：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Omega }=\frac{\cos {\omega }_0-\cos \omega }{\sin \omega }}}$$\boxed{\Omega=\frac{\cos \omega_0 -\cos \omega}{\sin \omega}}$.

• 截止频率间关系：

  $${\mathrm{\Omega }}_{p/st}=\frac{\cos {\omega }_0-\cos {\omega }_{p/st}}{\sin {\omega }_{p/st}}$$

  ${\mathrm{\Omega }}_p$$\Omega_{p}$ 通过 ${\omega }_{p1},{\omega }_{p2}$$\omega_{p1},\omega_{p2}$ 算都是一样的，通过 ${\omega }_{st1},{\omega }_{st2}$$\omega_{st1},\omega_{st2}$ 计算 ${\mathrm{\Omega }}_{st}$$\Omega_{st}$，取约束更强的，即绝对值更小的 ${\mathrm{\Omega }}_{st}$$\Omega_{st}$。

模拟低通到数字带阻

• 中心频率表达式：${\displaystyle \cos {\omega }_0=\frac{\sin ({\omega }_{st2}+{\omega }_{st1})}{\sin {\omega }_{st2}+\sin {\omega }_{st1}}}$$\displaystyle \cos \omega_0 =\frac{\sin (\omega_{st2}+\omega_{st1})}{\sin \omega_{st2}+\sin \omega_{st1}}$.

• 变换关系：${\displaystyle \boxed{{\displaystyle s=\frac{1-z^{-2}}{1-2z^{-1}\cos {\omega }_0+z^{-2}}}}}$$\displaystyle \boxed{s=\frac{1-z^{-2}}{1-2z^{-1}\cos \omega_0+z^{-2}}}$（取倒数）

• 频率间关系：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Omega }=\frac{\sin \omega }{-\cos {\omega }_0+\cos \omega }}}$$\boxed{\Omega=\frac{\sin \omega}{-\cos \omega_0 +\cos \omega}}$.

• 截止频率间关系：

  $${\mathrm{\Omega }}_{p/st}=\frac{\sin {\omega }_{p/st}}{-\cos {\omega }_0+\cos {\omega }_{p/st}}$$

  ${\mathrm{\Omega }}_{st}$$\Omega_{st}$ 通过 ${\omega }_{st1},{\omega }_{st2}$$\omega_{st1},\omega_{st2}$ 算都是一样的，通过 ${\omega }_{p1},{\omega }_{p2}$$\omega_{p1},\omega_{p2}$ 计算 ${\mathrm{\Omega }}_p$$\Omega_{p}$，取约束更强的，即绝对值更大的 ${\mathrm{\Omega }}_p$$\Omega_{p}$。

到这里我们可以 更加快速地设计数字高通/带通/带阻滤波器，步骤如下：

1. 确定模拟指标；通过 $\omega =\mathrm{\Omega }T$$\omega=\Omega T$ 确定对应的数字指标.

2. 确定中心频率 $\omega$$\omega$，进行频率预畸，直接将所需的数字指标变换到模拟指标，并且计算出 ${\mathrm{\Omega }}_p,{\mathrm{\Omega }}_{st}$${\Omega}_p,{\Omega}_{st}$.

3. 根据指标 ${\mathrm{\Omega }}_p,{\mathrm{\Omega }}_{st}$${\Omega}_p,{\Omega}_{st}$ 确定原型巴特沃斯滤波器参数 $N,{\mathrm{\Omega }}_c$$N,\Omega_{c}$;

4. 通过查表法确定 $H_{an}(s)$$H_{an}(s)$;

5. 去归一化 $H_a(s)=H_{an}(s/{\mathrm{\Omega }}_c)$$H_a({s})=H_{an}({s}/{\Omega_c})$;

6. 进行模数直接变换。

3. FIR 滤波器设计

3.1 线性相位 FIR 滤波器

当单位抽样响应 $h(n),0\le n\le N-1$$h(n),0\le n\le N-1$ 为 实数 且满足

• 偶对称性：$h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$$h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 或者；

• 奇对称性：$h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$$h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$.

则系统频率响应是严格线性的，也就是 $\arg H(e^{j\omega })=\alpha \omega$$\arg H(e^{j\omega})=\alpha \omega$.

偶对称线性相位证明

代入 $h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$$h(n)=h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 的条件，

代入 $H(z)=z^{-(N-1)}H(z^{-1})$$H(z)=z^{-(N-1)}H(z^{-1})$，可得

代入 $z=e^{j\omega }$$z=e^{j\omega}$.

因此相位函数 $\theta (\omega )$$\theta(\omega)$ 是 $\omega$$\omega$ 的线性函数，${\displaystyle \tau (\omega )=-\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\omega }=\boxed{{\displaystyle \frac{N-1}{2}}}}$$\displaystyle \tau(\omega)=-\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d \omega}=\boxed{\frac{N-1}{2}}$.

奇对称线性相位证明

代入 $h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$$h(n)=-h(N-1-n),0\le n\le N-1$ 的条件，可得

相位函数 $\theta (\omega )$$\theta(\omega)$ 是 $\omega$$\omega$ 的线性函数，${\displaystyle \tau (\omega )=-\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\omega }=\boxed{{\displaystyle \frac{N-1}{2}}}}$$\displaystyle \tau(\omega)=-\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d \omega}=\boxed{\frac{N-1}{2}}$.

另一种简单的证明方式

• 当偶对称，$(z^{\frac{N-1}{2}-n}\pm z^{-(\frac{N-1}{2}-n)})$$\left(z^{\frac{N-1}{2}-n}\pm z^{-\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}\right)$ 为实数；相位为 $\theta (\omega )=-\frac{N-1}{2}\omega$$\theta(\omega)=-\frac{N-1}{2} \omega$.

• 当奇对称，$(z^{\frac{N-1}{2}-n}\pm z^{-(\frac{N-1}{2}-n)})$$\left(z^{\frac{N-1}{2}-n}\pm z^{-\left(\frac{N-1}{2}-n\right)}\right)$ 为纯虚数；相位为 $\theta (\omega )=\frac{\pi }{2}-\frac{N-1}{2}\omega$$\theta(\omega)=\frac{\pi}{2}-\frac{N-1}{2}\omega$.

零点的分布 对于线性相位 FIR 滤波器，

因为 FIR 滤波器系统函数的系数为实数，所以 $z$$z$ 零点推出 $z^{\ast }$$z^*$ 也是零点，也就是。

因为线性相位的性质，

因此 $z$$z$ 零点推出 $z^{-1}$$z^{-1}$ 也是零点。

可否设计低通、高通、带通、带阻 只需考虑 $z=1,z=-1=e^{j\pi }$$z=1,z=-1=e^{j\pi}$ 是否一定是滤波器零点。我们考虑配对：

• $N$$N$ 为奇数、偶对称. $1+z^{N-1-2n}=0$$1+z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$$N-1-2n$ 为偶数，$z=1,z=-1$$z=1,z=-1$ 不一定是零点，因此可以设计四种滤波器；

• $N$$N$ 为偶数、偶对称. $1+z^{N-1-2n}=0$$1+z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$$N-1-2n$ 为奇数，$z=-1$$z=-1$ 一定是零点，因此只能设计低通、带通滤波器；

• $N$$N$ 为奇数、奇对称. $1-z^{N-1-2n}=0$$1-z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$$N-1-2n$ 为偶数，$z=1,z=-1$$z=1,z=-1$ 一定是零点，因此只能设计带通滤波器；

• $N$$N$ 为偶数、奇对称. $1-z^{N-1-2n}=0$$1-z^{N-1-2n}=0$，由于 $N-1-2n$$N-1-2n$ 为奇数，$z=1$$z=1$ 一定是零点，因此只能设计高通、带通滤波器；

总结：只需分析 $z=\pm 1$$z=\pm 1$ 是否一定是方程 $1\pm z^{N-1-2n}=0$$1\pm z^{N-1-2n}=0$ 的零点，不需死记。

3.2 窗函数法 FIR 滤波器设计

1. 给定要求的理想频率响应 $H_d(e^{j\omega })$$H_d(e^{j\omega})$ (desired)，一般是低通、高通、带通、带阻。

2. 我们利用 IDTFT 求得理想滤波器的系数 $h_d(n)$$h_d(n)$

   $$h_d(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{H}_d(e^{j\omega })e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega$$

   一般取 $N$$N$ 为奇数，令 $\tau =(N-1)/2$$\tau=(N-1)/2$，对于低通滤波器，

   $$\begin{array}{rl}{h}_d^{lp}(n)& =\{\begin{array}{ll}\frac{\sin ({\omega }_c(n-\tau ))}{\pi (n-\tau )},& n\ne \tau \\ {\omega }_c/\pi ,& n=\tau \end{array}\end{array}$$

   当 ${\omega }_c=\pi$$\omega_c=\pi$ 时，低通滤波器变为全通滤波器：

   $$\begin{array}{c}{h}_d^{ap}(n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=\tau \\ 0,& n\ne \tau \end{array}\end{array}$$

   因此，高通滤波器直接利用线性性做减法可得：

   $$\begin{array}{c}{h}_d^{hp}(n)=\{\begin{array}{ll}-\frac{\sin ({\omega }_c(n-\tau ))}{\pi (n-\tau )},& n\ne \tau \\ 1-{\omega }_c/\pi ,& n=\tau \end{array}\end{array}$$

   带通滤波器利用两个低通做减法：

   $$\begin{array}{c}{h}_d^{bp}(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin [{\omega }_2(n-\tau )]-\sin [{\omega }_1(n-\tau )]}{\pi (n-\tau )},& n\ne \tau \\ ({\omega }_2-{\omega }_1)/\pi ,& n=\tau \end{array}\end{array}$$

   带阻利用全通减带通：

   $$\begin{array}{c}{h}_d^{bs}(n)=\{\begin{array}{ll}-\frac{\sin [{\omega }_2(n-\tau )]-\sin [{\omega }_1(n-\tau )]}{\pi (n-\tau )},& n\ne \tau \\ 1-({\omega }_2-{\omega }_1)/\pi ,& n=\tau \end{array}\end{array}$$

3. 因为 $h_d$$h_d$ 是无限时长的，所以需要用有限时长的窗函数 $w(n)$$w(n)$ 截断，也就是：

   $$h(n)=h_d(n)\cdot w(n)$$

   并且 $h(n)$$h(n)$ 在 $0\le n\le N-1$$0\le n\le N-1$ 之外的范围都为零。

4. 求出加窗后的实际频率响应 $H(e^{j\omega })$$H(e^{j\omega})$.

   $$\begin{array}{rl}H(e^{j\omega })=& \frac{1}{2\pi }[H_d(e^{j\omega })\ast W(e^{j\omega })]\\ H(f)=& H_d(f)\ast W(f)\end{array}$$

   因为是卷积关系，所以产生的肩峰过渡带宽度 $\mathrm{\Delta }\omega$$\Delta \omega$ 取决于 $W(e^{j\omega })$$W(e^{j\omega})$ 宽度。肩峰过渡带的中心为对应理想滤波器的边界。

综上，设计 FIR 滤波器 步骤为：

1. 给定设计指标 ${\omega }_p,{\omega }_{st},R_p,A_s$$\omega_p,\omega_{st},R_p,A_s$.

   计算中心频率：

   $$\begin{array}{c}{\omega }_c=({\omega }_p+{\omega }_{st})/2\\ {\omega }_1=({\omega }_{p1}+{\omega }_{st1})/2\\ {\omega }_2=({\omega }_{p2}+{\omega }_{st2})/2\end{array}$$

2. 选择窗类型和长度点数 $N$$N$.

   1. 窗类型由阻带最小衰减 $A_s$$A_s$ 决定；

   2. 窗长度点数由过渡带宽 $\mathrm{\Delta }\omega$$\Delta \omega$ 决定。

      • 对于低通高通，$\mathrm{\Delta }\omega =|{\omega }_{st}-{\omega }_p|$$\Delta\omega=|\omega_{st}-\omega_p|$.

      • 对于带通带阻，$\mathrm{\Delta }\omega =min\{|{\omega }_{st1}-{\omega }_{p1}|,|{\omega }_{st2}-{\omega }_{p2}|\}$$\Delta \omega=\min\{|\omega_{st1}-\omega_{p1}|,|\omega_{st2}-\omega_{p2}|\}$.

   决定窗函数 $w(n)$$w(n)$.

3. 求取 $h(n)=h_d(n)\cdot w(n)$$h(n)=h_d(n)\cdot w(n)$.

4. 检验 $H(e^{j\omega })$$H(e^{j\omega})$ 是否满足性能要求